揭开期权价值的神秘面纱,期权的希腊字母详解


尽管金融衍生品可以定义为一种证券,但与市场上公开交易的证券不同,其价值更依赖于更基本的标的变量,即证券价格、利率、商品价格或股票指数,因此在定价方面,衍生品定价更加依赖于数量模型。在20世纪70年代早期,交易和衍生证券定价的变革就已经开始了。虽然早年的期权主要是通过金融机构在场外交易市场有规律地进行交易,但1973年芝加哥期权交易所就已经在交易所内进行期权交易了。也就是这一年,Black和Scholes以及Merton发表了他们关于期权定价理论的奠基性文章,标志着金融工程领域显著发展的开始,也是期权长达20年的高速发展的强力助推器。对于期权定价模式的探讨,不仅仅是出于市场定价的考虑,更重要的是投资者通过研究最优定价模型来实现对内在价值的准确定位,从而抓住稳定套利机会。


期权定价模型概述


(1)二叉树定价模型


二叉树的本质是运用概率模型推算资产价格(或利用资产价格推算风险中性概率),并根据资产价格和概率推算出二叉树节点——即每一时刻的期权价格并回推出初始时刻的期权价格。二叉树模型的优点可以在于以较小的修正(每一时间点的期权价格与期权内在价格比较后取较大值)计算美式期权价格,并以较直观的方法推算期权的期初价格,缺点也同样明显:无法反映期权价格的实时变化。


(2)Black-Scholes模型


Black和Scholes通过证明如何连续地对冲一个期权的空头敞口创立了期权定价理论。通过不断调整投资组合中标的资产和期权的比例,Black和Scholes阐明了如何通过构建部分标的资产和做空欧式看涨期权的组合实现无风险收益。BS公式如下:


C = S * N(d1) − Ke − rTN(d2 )


其中,d1=[ln(S/K)+(r+σ2/2)T]/σ;d2=[ln(S/K)+(r-σ2/2)T]/σ。


公式对于无风险利率r,BS通常假设为已知。事实上,已经有部分利率模型(HJM模型等)可以对BS模型进行优化,而对于利率期权,假设r已知是不合适的。


公式同样假设标的价格服从几何布朗运动,且收益率服从正态分布。通常,通过对股票收益率的研究,我们可以对于其是否服从正态分布得出结论。事实上,新兴市场的收益率存在比较明显的负偏态。


BS公式并没有对分红进行处理,但欧式期权的分红相当于权利金的降低,在公式中和下一节的参数变化中可以适当得以修正。


BS公式的另一局限性在于无法对美式期权、亚式期权等进行定价。


基于BS模型的定性及定量分析


期权具有不固定的杠杆率,并且可以投资标的波动率,这些特点都是其他投资工具所不具备的;另一方面,同一标的存在不同行权价、行权期的期权,进而演变出千变万化的投资组合,所以我们有必要理清期权价格、杠杆及其希腊字母与外界变量之间的关系。


(1) Delta分析:近月期权的杠杆较高


Delta定义为期权的价格变化对其标的资产价格变化的比率,即BS公式中的N(d1)。它是期权价格与标的资产价格关系曲线的斜率。若某股票看涨期权的delta为0.6,则当股票价格变化一个单位时,该期权价格变化约为0.6个单位。可以使用delta对期权风险进行对冲,即买入delta份股票同时卖出一份看涨期权。值得注意的是delta值在不断地变化,投资者的保值头寸保持delta对冲状态只能维持一个相当短暂的时间,所以需要不断调整保值头寸。


对于看涨期权,当标的价格升高时,权利金升高的速度越来越快;当标的价格下降的时候,权利金下降的速度越来越慢。这种凸性效应对买方是有利的,其代价则是时间价值的损失。对于看跌期权,权利金随着股票价格下降而升高,而且升高速度越来越快,除了权利金变化方向与看涨期权相反,其他方面都类似。


Delta主要受以下几点因素影响:


a.标的价格:近月合约的Delta在标的价格较低的时候低于远月合约,而随着标的价格增长逐渐超过了远月合约的Delta。


b.波动率:对于价内期权,波动率越高Delta越小;对于价外期权,波动率越高Delta越大;对于平价期权,Delta随波动率变化程度较小。另外,远月期权的Delta值距0.5较小,即图像上看价内、价外两条曲线更集中。


c.行权期:行权期对于价内和价外期权也需要分别讨论。价内期权,越接近行权期Delta越大,逐渐收敛至1;价外期权,越接近行权期Delta越小,逐渐收敛至0;平价期权的Delta受行权期影响相对较小,逐渐收敛至0.5。


(2)Gamma分析:近月平价期权不适合Delta对冲


Gamma定义为资产的delta变化相对于标的资产价格变化的比率,也就是上文提到的权利金价值相对于价格变化的速度。它等于资产价值对资产价格的二阶偏导数,衡量了delta变化相对于资产价格的敏感度。Gamma较大时,由于动态对冲的难度增大,运用delta对冲策略效果将大大减弱。Gamma主要受以下几点因素影响:


标的价格对Gamma的影响:Gamma关于标的价格的函数不是单调的,在行权价格左侧,Gamma达到最大值,也就是说期权的价外或者价内程度越深,Gamma越小。期权的Gamma值较大时说明Delta的变化幅度较大。Delta对冲的有效范围由Gamma来决定,Gamma越小,有效对冲范围越大,因此做Delta对冲时应该尽量避免行权期较短的平价期权。


标的波动率对Gamma的影响:一般来讲,波动率越高,Gamma越低。在波动率低于30%的时候,平价期权的Gamma值较高,而随着波动率的增加,价内、平价、价外期权的Gamma差距在减小。可见,对于Delta对冲策略,标的波动率越高,对冲效果越好。


行权期对Gamma的影响:价内期权随着时间的流逝,Gamma加速提高;而价内、价外期权的Gamma开始缓慢增加,到行权期前快速下降。可见,近月平价期权的Gamma较高,用来做Delta对冲效果较差。


(3)Vega分析:近月价外期权承担较高的波动率风险


Vega定义为有价证券组合的价值变化与标的资产波动率变化的比率,衡量了证券组合的价值对波动率变化的敏感度。Vega越大,证券组合的价值对波动率的变化越敏感。其他条件不变时,期权权利金随着标的价格波动率升高而升高。因为期权买方是有行权权利,并且不需要承担行权义务,所以波动率提高可以增加正面收益(标的走势与期权方向相同)的概率,进而提高期权的期望值;同时也会增加负面收益(标的走势与期权方向相反)的概率,但是由于持有者可以选择不行权,因此负面概率对期权期望值影响较小。


我们对SP500指数的定量研究显示,对于近月价内合约,波动率在20%、25%、30%的时候,波动率每变化5%,权利金相应变化7%左右。对于价外近月合约,波动率上述在三个数值时,波动率每变化5%,权利金相应变化分别在50%、42%、36%左右。波动率对权利金影响归纳为:从绝对变化数值上看,远月期权受波动率影响较大,主要是因为远月期权的时间价值较高。从变化率上看,价外近月期权受波动率影响最高,之后是价外远月期权,价内期权受波动率影响较小,主要原因是近月价外合约权利金较低。


(4)Theta分析:越接近行权日,期权价值蒸发越快


Theta定义为在其他条件不变时,该证券组合的价值变化相对于时间变化的比率,有时theta也被称为有价证券组合的时间损耗。美式期权的theta通常是负数,因为随着到期日的临近,期权的时间价值就会变得越来越低,而欧式看跌期权的theta一般也为负数,但当内在价值高于期权理论价值时,时间价值为负,随着到期的临近,时间价值逐渐升高至0,则theta为正数。


行权时间对期权的影响,主要体现在其时间价值上,因此我们去除价内期权的内在价值,分析行权期对时间价值影响。如下图,远月期权蒸发的绝对数值基本恒定,平价期权的时间价值本身较高,所以蒸发率较低,一般每天蒸发在1%-2%左右;价外期权蒸发速度较快,一般每天蒸发在2%-5%左右。成为近月合约后每天蒸发速度大幅提高,最后一天蒸发所有时间价值。


定量的角度上看,价内行权期在45、30、15天的时候,权利金分别是0.77,0.69,0.59,每半个月下降11%-15%。平价行权期在这三个时间点上权利金分别是0.45,0.37,0.25,每半个月下降21%-36%。价外行权期在这三个时间点上权利金分别是0.23,0.16,0.07,每半个月下降38%-74%。从绝对变化数值上看,权利金基本上随时间线性下降。


(5)Rho分析


Rho定义为有价证券组合价值变化与利率变化之间的比率,衡量了有价证券组合的价值对利率的敏感性。无风险利率与标的价格对权利金的影响类似,看涨期权权利金随无风险利率增加而增加。当无风险利率变动相同单位时,价内期权的变动幅度较小。由下图可知,看跌期权与看涨期权的权利金关于利率的变动方向相反。


定量的角度上看,对于近月价内合约,无风险利率在0%、2.5%、5%的时候,权利金分别是0.65,0.67,0.68,无风险利率每变化2.5%,权利金相应变化2%左右。对于价外近月合约,无风险利率上述在三个数值时,权利金分别是0.14,0.20,0.27,无风险利率每变化2.5%,权利金相应变化分别在35%、34%、32%左右。无风险利率对权利金影响归纳为:从绝对变化数值上看,远月、平价期权受无风险利率影响较大。从变化率上看,价外远月期权受无风险利率影响最高,近月价内期权受到影响较小。


波动率探究


波动率是BS定价模型中唯一不确定的因素,而在预测波动率方面,我们可以用隐含波动率和GARCH模型两种途径进行探究。


期权价格可以反推出隐含波动率。将市场上的期权交易价格带入BS模型中,反解出的波动率代表了市场对标的波动率的期望,称作隐含波动率。隐含波动率可以用来监控市场对某一特定股票波动率的态度,也可以用来观察市场对未来大盘走势稳定型的预期,美国的VIX指数就是其中的代表。


另一方面,目前学术界已经公认波动率存在聚集现象,即波动率序列具有一定的自相关性,基于此特点,GARCH模型应运而生,模型试图以更精确的方式描述波动率聚集性以及相关影响,主要思想是波动率依赖于资产过去的实现路径和相关波动率过程,并且在长期波动率回回归到平均水平。除去和普通回归模型相同的之处,GARCH对误差的方差进行了进一步的建模。特别适用于波动性的分析和预测。


在预测一个月波动率时,隐含波动率优于GARCH模型,而预测一周波动率时,则相反。“这一方面是由于恒指期权市场中,剩余期限为1个月的期权交易最为活跃,交易量大,而剩余期限为一周的期权交易量较少,因而前者在反映信息方面更为全面,由此得到的隐含波动率预测能力优于GARCH波动率;另一方面,人们在预测未来时,短的时间序列模型,其在预测未来时,是建立在未来的变化规律与过去相同的基础上,因而预测的期限越长,这种相同的可能就越小,预测的效果也就越差。”(引用自《波动率预测:Garch模型与隐藏波动率》,厦门大学金融系,郑振龙)


此外,在研究中通过观测单个期权的隐含波动率同执行价格之间的关系,发现执行价格越高和越低的期权具有较高的隐含波动率,这种U形的形态被称为波动率微笑。波动率微笑可以从定价方面解释:由于BS公式假定资产价格收益率呈现正态分布而实际却呈现尖峰厚尾形态,从而尾部价格的出现概率被低估,这将导致执行价格在极端情况下,期权的价格被低估,从而反推出更高的隐含波动率。